Levi-Civita の記号の縮約公式の幾何学的解釈#
3階の完全反対称テンソル(レヴィ・チビタの記号)の縮約公式は添え字による ベクトル解析の計算において中心的な働きをしている. いろいろな導出方法があるが, ここでは幾何学的意味を中心にした方法を提示する. これによって公式が自然なものに見えるようになり, わざわざ覚える必要がなくなるであろう. 「新版マクスウェル方程式」問題A3の解答例にもなっている.
別解#
Levi-Civita の公式
\[\begin{align*}
\sum_{i=1}^3 e_{ijk}e_{ilm}
= \delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl}
\end{align*}\]
はベクトル解析の公式の証明に使われるが, ここでは, 逆にベクトル解析の公式から Levi-Civita の式を導いてみよう. まず, 正規直交基底 \((\vct e_1,\vct e_2,\vct e_3)\) に対して
\[\begin{align*}
e_{ijk} = \vct e_i\cdot(\vct e_j\times\vct e_k)
= (\vct e_j\times\vct e_k)_i
\end{align*}\]
が成り立つ. ベクトル解析の公式 \( \vct a\cdot(\vct b\times\vct c) = \vct c\cdot(\vct a\times\vct b) \) , \( \vct a\times(\vct b\times\vct c) = \vct b(\vct a\cdot\vct c) - \vct c(\vct a\cdot\vct b) \) を用いると,
\[\begin{align*}
\text{左辺}
&=
(\vct e_j\times\vct e_k)\cdot(\vct e_l\times\vct e_m)
= \vct e_l\cdot[\vct e_m\times(\vct e_j\times\vct e_k)]
\\
&= \vct e_l\cdot
[\vct e_j(\vct e_m\cdot\vct e_k)
- \vct e_k(\vct e_m\cdot\vct e_j)]
= \text{右辺}
\end{align*}\]
となる.